Matemáticas

Albert Einstein (1879-1955), físico germano-estadounidense autor de la teoría de la relatividad. Sus ideas revolucionaron el mundo de la física, representando un progreso respecto a los planteamientos newtonianos. Destaca su célebre fórmula que pone en relación la energía con la masa de los objetos: E = mc2. Obtuvo el Premio Nobel de física (1921) por su interpretación del fenómeno fotoeléctrico. Pareja a su actividad científica, desarrolló una intensa lucha a favor de la paz y diversas causas humanitarias. Einstein nació en Ulm, Alemania, el 14 de marzo de 1879. Un año después su familia se trasladó a Munich, donde su padre, Hermann Einstein, y su tío, Jakob Einstein, inauguraron una pequeña planta eléctrica. El joven Einstein no fue un estudiante destacado, y tan sólo gracias a la insistencia de su tío Jakob desarrolló interés por las matemáticas. Por influencia también, en este caso de su madre, estudió música y aprendió a tocar el violín, instrumento con cuya práctica...

Alberto Calderón (1920-1998), matemático argentino, cofundador de la escuela de análisis de Chicago e importante investigador en la disciplina del cálculo infinitesimal. Calderón nació el 14 de septiembre de 1920 en Mendoza, Argentina. Hijo de un médico de origen español, su familia le animó a estudiar matemáticas. Se formó en Suiza y en la ciudad de Buenos Aires, donde obtuvo la titulación de ingeniero civil. A partir de la década de 1940 se dedicó a la enseñanza y la investigación. Admirador del matemático estadounidense de origen polaco Antoni Zygmund, Calderón se trasladó en 1947 a Chicago, Estados Unidos, para trabajar junto a él. Entre ambos crearon la escuela de análisis de esta ciudad, donde se efectuaron algunos de los descubrimientos matemáticos de mayor relevancia de la segunda mitad del siglo XX. La parte principal de los estudios de Calderón versó sobre análisis de funciones y cálculo infinitesimal, si bien se dedicó además al cálculo geométrico. Contribuyó a la...

Se llama algoritmo de Euclides a un método para hallar rápidamente el máximo común divisor (m.c.d.) de dos números sin necesidad de descomponerlos previamente en factores primos. Dados dos números a y b,cuando se desea halla el m.c.d. (a,b), suponiendo que a < b, el algoritmo se aplica en estos pasos sucesivos:. Se divide b entre a, con lo que se obtendrá un cociente, c, y un resto, r, por lo que:. b = a·c + r. Si r = 0, entonces a divide a b, con lo que m.c.d. (a,b) = a. Si , entonces r = b – a·c, con lo que cualquier número que divida a b y a a, dividirá también a r, ya que sabemos que si un número divide a dos, divide también a su diferencia. Entonces:. m.c.d. (a,b) = m.c.d. (a,r). Continuando este proceso, se llegará a una división en la que r será nulo. El máximo común divisor buscado será entonces el último divisor empleado. Por ejemplo, hallemos el m.c.d. (144, 36). 144 : 36 = 4. Luego:. m.c.d. (144, 36) = 36. Hallemos ahora el m.c.d. (144, 60). Operando según lo...

Ideado en su forma arquetípica por el matemático indio Narendra Karmakar, el algoritmo que lleva su nombre ofrece un procedimiento para la resolución de problemas de programación lineal. Cuando en estos problemas se maneja multitud de variables y condiciones de restricción, es común recurrir al auxilio de computadoras para su resolución. El método simplex, ideado por el estadounidense George Dantzig, supuso la aparición de un algoritmo que sirvió de base a un programa informático, gracias al cual se redujo de forma considerable el tiempo de resolución de los problemas. No obstante sus ventajas, el método simplex es de naturaleza exponencial, lo que implica que el tiempo de trabajo que precisa crece exponencialmente, según el tamaño del problema que se ha de resolver. Por ello, muchos matemáticos acometieron la tarea de diseñar algoritmos de tipo polinómico que manejarían un crecimiento del tiempo de resolución potencial, mucho más asequible que el exponencial. Un primer intento en...

En Matemáticas, un algoritmo es un conjunto de reglas que sirve para realizar una operación o para solucionar un problema. Cuando, por ejemplo, se enseña a un niño a sumar, se le da una serie de normas, como es la de colocar las cantidades a adicionar de manera que las cifras de las unidades queden todas ellas en la misma columna, ídem con las de las decenas, etc.; que se empiece a sumar por la columna de las unidades y que si esta adición pasa de diez, se añada el dígito correspondiente a la columna de las decenas, etc. Pues bien, todas esas reglas constituirían el algoritmo de la suma. Para que un conjunto de normas pueda ser considerado un algoritmo, debe cumplir unos requisitos. El primero es que las instrucciones deben estar en número finito, siendo, además, necesario el aplicarlas en un determinado orden secuencial. El segundo es que la aplicación del algoritmo proporcione siempre el mismo resultado. En resumen, debe suceder que:. Un determinado agente, humano o no, decide...

Antonio de Ulloa (1716-1795), matemático, militar y científico español, cuya obra Noticias americanas: Entretenimientos físicos-históricos sobre América meridional y la septentrional oriental. Comparación general de los territorios, climas y producciones en las tres especies vegetales, animales y minerales (1772) fue fundamental para el conocimiento del continente americano. Antonio de Ulloa nació en Sevilla en 1716 y estudió en el Colegio Mayor de Santo Tomás. Con 13 años se embarcó en el galeón San Luis con destino a Cartagena de Indias, y a su regreso a España en 1732 consiguió una plaza en la Academia de guardiamarina de Cádiz para el navío Santa Teresa, que auxiliaba a Carlos III, en guerra con el Imperio austriaco. Su primera empresa científica consistió en participar, junto con Jorge Juan, en la expedición a Ecuador auspiciada por la Academia de París para medir el meridiano terrestre. Fruto de este viaje fueron dos importantes tratados publicados en colaboración con Jorge...

Se llama observable a todo fenómeno detectable por los sentidos. Cuando un observable es medible, recibe el nombre de magnitud. Así, por ejemplo, la belleza es un observable, pero no una magnitud. Sin embargo, la masa de un cuerpo y la velocidad de un móvil son magnitudes. Las magnitudes son de dos tipos: escalares y vectoriales. Las primeras quedan perfectamente determinadas por un solo dato (su valor). Por ejemplo, la altura de un edificio, el volumen de agua en un recipiente, etc. Este valor se determina por medio de un número real por lo que, frecuentemente, estas magnitudes se conocen por escalares. Una magnitud vectorial, por el contrario, es la que no queda determinada por un solo dato. Por ejemplo, si un piloto que va a despegar conoce únicamente que el viento sopla a 40 km/h, su información será incompleta, porque además del valor de esa velocidad necesitará saber si es de componente norte, sur, etc. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de unos segmentos...

Aplicaciones y funciones. El carácter abstracto y complejo del razonamiento matemático ha llevado a menudo a plantear argumentaciones aparentemente contradictorias que alimentan un extenso repertorio de curiosidades matemáticas. Uno de ellos es la denominada paradoja de Galileo. En Dos nuevas ciencias, trabajo postrero en la vida de este sabio del siglo XVII, se plantea una afirmación paradójica dentro del conjunto de los números enteros. Como ya se sabe, algunos enteros son cuadrados perfectos, como 4, 9, 16, 25, 36, etc. Ello significaría que el conjunto de los números cuadrados es menor en número de elementos que el de los números enteros, que los incluye a ellos pero también a los no cuadrados. Sin embargo, por cada número cuadrado existe un número entero que es su raíz cuadrada (por ejemplo, 4 es cuadrado de 2, 9 de 3, etc.), y por cada entero hay exactamente un cuadrado. Ello significaría que no debería haber mayor número de unos que de otros, en una asociación entre...

Muy a menudo, las proposiciones pueden expresarse mediante diagramas de Venn, lo que las hace muy adecuadas para ver gráficamente la validez de los razonamientos. Por ejemplo, si se consideran los conjuntos de los cuadriláteros, los rectángulos y los cuadrados, teniendo en cuenta las relaciones de inclusión existentes entre ellos, podría hacerse la siguiente representación:. Cuadriláteros. Rectángulos. Cuadrados. Naturalmente, los diagramas de Venn pueden ser empleados para conjuntos disjuntos, es decir, sin elementos comunes. Por ejemplo:. Cuadriláteros. Círculos. Los diagramas de Venn tienen una importante aplicación en los silogismos. Un silogismo es un razonamiento que se compone de dos premisas (mayor y menor) y de una conclusión. Por ejemplo, la argumentación:. Todos los hombres son mortales Premisa mayor. Juan es hombre Premisa menor. Juan es mortal Conclusión. Se ha hecho a través de un silogismo. En su lógica, Aristótelesclasificaba a las premisas en los...

Parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de los números. Sus principios están ligados a los albores de la Humanidad, ya que muy pronto el hombre necesitó cuantificar para fijar las dimensiones de su patrimonio. Está claro que aquel hombre prehistórico, ganadero, necesitaba saber el número de ovejas que poseía, la cantidad de pieles de que disponía, etc. De esta manera, surgieron los números naturales (N), a los que hoy día definimos como enteros y positivos y que son los que nos sirven para contar. Aunque en un primera situación, las familias eran unidad de producción y de consumo, la división del trabajo estableció una especialización que condujo a una superproducción. De esta forma, sucedía, por ejemplo, que un determinado grupo familiar tenía exceso de leche pero carencia de pieles y otro estaba en la situación opuesta. La necesidad de conseguir aquello de lo que se carecía fue el origen del comercio, basado en un principio en el trueque. En cualquier actividad...

Arquímedes (hacia 290-289 a.C.-hacia 212-211 a.C.), físico, matemático e inventor griego, formuló los principios de la hidrostática, entre los que destaca el que lleva su nombre. El nacimiento de Arquímedes se estima entre el 290 y el 289 a.C., en la ciudad-estado griega de Siracusa, Sicilia, en la actual Italia. Estudió en Alejandría, Egipto, para a continuación regresar a Siracusa, donde pasaría el resto de su vida. Le unía una estrecha relación con el rey de la ciudad, Herón II, siendo posible que estuvieran emparentados. En comparación con otros sabios griegos de la antigüedad, es mucho lo que se sabe sobre la biografía de Arquímedes. Aunque gran parte de la información de la que se dispone son anécdotas cuya veracidad resulta dudosa, éstas son una prueba del hondo calado social que alcanzaron tanto la figura como la obra de este matemático. Quizá la más célebre de tales historias sea la que narra cómo Arquímedes, por orden de su rey, tuvo que distinguir entre una corona...

© 2008 Tebas. Artur Avila Cordeiro de Melo nació en Río de Janeiro, Brasil, el 29 de junio de 1979. Tras obtener la medalla de oro en las Olimpiadas Matemáticas Internacionales con 16 años, centró sus estudios en esta disciplina, que inició en el Instituto Nacional de Matemática Pura y Aplicada de su ciudad natal. Tras obtener un doctorado en esta institución, se trasladó a París, donde se convirtió en el más joven director de investigación del Centro Nacional de Investigación Científica. Tiene doble nacionalidad, brasileña y francesa. En 2014, Avila fue distinguido con la Medalla Fields, el premio internacional más prestigioso en el ámbito de las matemáticas, “por sus profundas contribuciones a la teoría de sistemas dinámicos, que han modificado la fisonomía de la disciplina mediante la poderosa idea de la renormalización como un principio de unificación”. Al tiempo que Avila recibieron el galardón otros tres jóvenes investigadores: Martin Hairer, Manjul Bhargavay Maryam Mirzajani.

La simetría estadística o, en su caso, la asimetría estudia la forma que presenta una distribución. Si se consideran distribuciones campaniformes, tomados los valores de la variable en abscisas (eje OX) y, como eje de ordenadas (OY), la perpendicular al anterior, trazada por el punto de abscisa x = , se dice que la distribución es simétrica cuando existe a ambos lados del eje parejas de valores equidistantes del mismo y, además, con la misma frecuencia. En caso contrario, será asimétrica. Se trata ahora de definir unos valores que reflejen la simetría o la asimetría de una distribución y que tenga carácter de índices. Cuando la distribución es simétrica, la suma de las desviaciones es nula, ya que se sumarán tanto las positivas como las negativas. En cambio, si se toma la potencia tercera de dichas desviaciones, se logrará una información significativa. La razón de que se elija la tercera potencia es porque, descartadas las potencias pares, que eliminarían el signo de las...

Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés, pionero del análisis infinitesimal. Nacido el 21 de agosto de 1789 en París (Francia), siendo niño se trasladó, junto al resto de su familia, a la localidad de Arcueil, a fin de huir del periodo de terror que siguió a la revolución francesa. Allí conoció al matemático Pierre-Simon Laplace y al químico Claude-Louis Berthollet, quienes hicieron nacer en Cauchy una afición por las ciencias puras. Aunque su carrera profesional se inició en el campo de la ingeniería militar, viajando en 1810 a Cherburgo para trabajar en los muelles y fortificaciones de la armada napoleónica, al mismo tiempo progresaba en sus estudios de matemáticas. Entre sus logros de esta época se encuentra la resolución del problema enviado por Joseph-Louis Lagrange en el que se planteaba si existía una relación entre el número de aristas, el de vértices y el de caras de un poliedro convexo. En 1813 regresó a París y, en parte siguiendo el consejo de Laplace,...

Augustus de Morgan (1806-1871), matemático inglés que contribuyó al avance de la lógica mediante la formulación de las leyes de De Morgan. Nacido el 27 de junio de 1806 en Madura (India), era hijo de un teniente coronel destinado en este país. Cuando no contaba más que siete meses De Morgan fue llevado a Inglaterra. A muy corta edad perdió la visión del ojo derecho, lo que a decir de sus contemporáneos fue una de las causas de su carácter poco sociable. En 1823 ingresó en el Trinity College de Cambridge y en 1827 se convirtió en profesor del recién inaugurado University College de Londres. Fue uno de los fundadores de la Sociedad Matemática de Londres (1866) y miembro de la Real Sociedad Astronómica, si bien se negó a ingresar en la Royal Society. Falleció en Londres, Inglaterra, el 18 de marzo de 1871. Uno de los primeros éxitos de De Morgan vino de la mano de la publicación de su texto Elementos de aritmética (1830), donde realizó un tratamiento filosófico de conceptos como...

Bernhard Bolzano (1781-1848), matemático y filósofo bohemio, autor de la teoría de los conjuntos finitos. Nacido el 5 de octubre de 1781 en Praga (Bohemia, actual República Checa), estudió en la Universidad de Praga y fue ordenado sacerdote. En 1805 comenzó a trabajar como profesor de filosofía y religión en la universidad. Predicó en contra del militarismo y el enorme gasto social que éste ocasionaba. Defendió la necesidad de una profunda reforma en los sistemas de educación, social y de economía con el fin de reorientar los intereses de la nación hacia la paz. Sus ideas causaron disgusto entre las autoridades universitarias y, puesto que rehusó retractarse, en 1818 hubo de abandonar su puesto como profesor. A partir de ese momento se dedicó al estudio y a escribir sobre temas sociales, religiosos, filosóficos y matemáticos. Falleció en Praga, el 18 de diciembre de 1848. En el campo de la filosofía, planteó teorías opuestas a las del alemán Inmanuel Kant. De acuerdo con Bolzano,...

El procedimiento matemático conocido como binomio de Newton resuelve el problema de hallar el desarrollo de:. (a + b)n. La consideración de los desarrollos de las diversas potencias de este binomio lleva a establecer que:. (a + b)n = (1). Se trata, pues, de un polinomio homogéneo, de grado n, cuyo número de términos es igual al exponente del binomio aumentado en una unidad y en el que:. El primer elemento es el primer término del binomio elevado a n, mientras que el último es el segundo, también elevado a n. Al pasar de un término al siguiente, el exponente del primer elemento del binomio, a, disminuye en una unidad y el del segundo, b, aumenta en una unidad. Así, por ejemplo:. (x + y2)5 =. Hallando los valores de los números combinatorios y operando:. (x + y2)5 = x5 + 5x4y2 + 10x3y4 +10x2y6 + 5xy8 + y10. Este desarrollo es molesto porque, una vez planteado, obliga a hallar el valor de los números combinatorios que constituyen sus coeficientes. Para calcular estos números...

Blaise Pascal (1623-1662), matemático, físico y filósofo religioso, formuló el principio que lleva su nombre sobre el modo en que se transmite la presión aplicada a un líquido. Pascal nació el 19 de junio de 1623, en Clermont-Ferrand, Francia. Su familia, de posición acomodada y profundas convicciones católicas, se trasladó a París en 1631. Étienne Pascal, padre de Blaise, era un reconocido matemático que introdujo a su hijo en el estudio de tal disciplina, en la que éste destacó de manera muy precoz. En 1640 escribió Essai pour les coniques (Ensayo para las cónicas), un tratado sobre este tipo de superficies con el que obtuvo un notable reconocimiento y atrajo la atención de personalidades de la talla de René Descartes. Cuando sólo tenía 19 años construyó una máquina de calcular con el fin de ayudar a su padre en el cómputo de los impuestos, y que es considerada como la primera calculadora de la historia. Al igual que su familia, durante su juventud Pascal fue un estricto...

La magnitud conocida como calidad estadística estudia los errores que se pueden cometer en el proceso de elaboración de un estudio estadístico. En general, dichos errores son de los siguientes tipos:. En la captación de datos. Invalidan científicamente las conclusiones a las que llegue el estudio estadístico. A veces, se deben a incompetencia de las personas encargadas de recoger los datos; en otras ocasiones, como cuando, por ejemplo, se hace una encuesta, se propone a los encuestados cuestionarios incorrectos por estar plagados de imprecisiones o de malos planteamientos. Mención especial merece el caso de errores intencionados, buscando algún beneficio. De interpretación. Suelen proceder de errores de cálculo. En otras ocasiones se trata de equivocaciones cometidas por no usar una metodología adecuada, como puede ser una periodificación inexacta, un mal empleo de series cronológicas adjudicando variaciones que no se efectúan en intervalos temporales regulares, etcétera. De...

En el plano, e igualmente, en el espacio, un punto puede estar referido a diferentes sistemas. Si se consideran los cartesianos, sus coordenadas (que son las distancias a los ejes OX y OY) serán diferentes, según la posición que ocupen. X’. Y Y’ P. b b’ a’. O’. O X. a. Por ejemplo, como se ve en la figura, el punto P con respecto al sistema XOY es P(a, b), mientras que, respecto a X’O’Y’ es P(a’, b’). El problema del cambio de sistema de referencia aborda la cuestión de, dadas las coordenadas de un punto en un determinado sistema de referencia, hallar las coordenadas de ese mismo punto con respecto a otro sistema distinto. Evidentemente, si las coordenadas de un punto cambian según el sistema de referencia que se considere, otro tanto sucede con las ecuaciones de las líneas, también distintas, según el sistema de coordenadas a que se refieran. Ello no quiere decir, sin embargo, que sus propiedades varíen con el cambio de sistema. Se considerarán los siguientes casos de...